微积分
参考视频： 三分钟弄懂微积分 参考笔记： 机器学习笔记 – 数学×微积分入门
- 微分
- 主要研究两个无穷小量的比值
- 积分
- 主要研究无限多的无穷小量之和
微积分符号定义
符号定义： $d+var$ 表示某个变量的极小的一点变化。
$d$ 和 $∫$ 是可以互相抵消的，因为求导和求积分互为逆运算，这就好比平方和平方根可以抵消一样。
积分符号“$∫$” 和 $Σ$ 有相同的意义。
例如 $\int_{1}^{2} f(x) \, dx$， 意为 $f(x)$ 与 $dx$ 相乘，这将在坐标系中得到一个极小量（可以看作 $f(x)$ 与 $x$ 轴间的一根细条），将1~2间无数个极小量求和，即为1~2下 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积。
与导数的关系
导数定义
对任意函数 $f(x)$ ，它的导数 $f’(x)$ 为 $\displaystyle \frac{df(x)}{dx}\,=\,\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$
更精确的表示为，当 $dx$ 无限逼近 $0$ 时， $f’(x)$ 才是真正的导数，也就是说： \(\frac{df(x)}{dx}\,=\,\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 在数学上，导数的含义是：经过图像上某一点的切线，这个切线的斜率即为导数值。
关系桥梁推导
微积分基本定理是微积分学中最核心的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。
微积分基本定理的第一部分
定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，定义函数 $F$ 为 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) 则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且 \(F'(x) = f(x)\) 即：第一部分定理指明了 $\int_a^x f(t) \, dt$ 为 $f(x)$ 的原函数。
详细证明：
- 定义差商： \(\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt \right)\)
- 利用积分的性质： \(\int_a^{x+h} f(t) \, dt = \int_a^x f(t) \, dt + \int_x^{x+h} f(t) \, dt\) 这里其实也可以直接看作是$\displaystyle \int_a^{x+h} - \int_a^x = \int_x^{x+h}$ 因此， \(\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt\)
- 均值定理： 由于 $f$ 在 $[x, x+h]$ 上连续，根据积分的均值定理，存在 $c \in [x, x+h]$ 使得 \(\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c) \cdot h\) 因此， \(\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c)\)
- 取极限： 当 $h \to 0$ 时， $c \to x$ ，因为 $c$ 在 $[x, x+h]$ 内。由于 $f$ 在 $x$ 处连续， \(\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)\) 这段就是说，$h \to 0$ 时，相当于这段积分就在 $x$ 点上，那不就是 $c \to x$ 了吗？ 因此， \(F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)\)
微积分基本定理的第二部分
定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F’(x) = f(x)$ ），则 \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
详细证明：
定义辅助函数： 设 $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$。根据第一部分，我们知道 $G’(x) = f(x)$。
原函数的性质： 由于 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，即 $F’(x) = f(x)$，因此 $F(x)$ 和 $G(x)$只相差一个常数 $C$ ： \(F(x) = G(x) + C\)
确定常数 $C$： 由于 $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$，我们有 \(F(a) = G(a) + C = 0 + C = C\) 因此， \(C = F(a)\) 所以， \(F(x) = G(x) + F(a)\)
计算定积分： 当 $x = b$ 时， \(F(b) = G(b) + F(a)\) 因此， \(G(b) = F(b) - F(a)\) 即 \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
总结
微积分基本定理的第一部分表明，积分函数的导数就是被积函数。第二部分表明，定积分可以通过原函数的差值来计算。
除上述数学证明外，我们通过直觉也可以猜测到这一点，即导数的定义与微积分是相关联的，积分函数在某一点的变化率即为被积函数（位置函数在某一点的变化率即为该点的速度函数）。