微积分

参考视频： 三分钟弄懂微积分 参考笔记： 机器学习笔记 — 数学×微积分入门

• 微分
  • 主要研究两个无穷小量的比值
• 积分
  • 主要研究无限多的无穷小量之和

微积分符号定义

符号定义： $d+var$ 表示某个变量的极小的一点变化。

$d$ 和 $\int$ 是可以互相抵消的，因为求导和求积分互为逆运算，这就好比平方和平方根可以抵消一样。

积分符号“$\int$” 和 $\Sigma$ 有相同的意义。

例如 ${\int }_1^{2}f(x)dx$， 意为 $f(x)$ 与 $dx$ 相乘，这将在坐标系中得到一个极小量（可以看作 $f(x)$ 与 $x$ 轴间的一根细条），将12间无数个极小量求和，即为12下 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积。

与导数的关系

导数定义

对任意函数 $f(x)$ ，它的导数 $f^{\prime }(x)$ 为 $\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$
更精确的表示为，当 $dx$ 无限逼近 $0$ 时， $f^{\prime }(x)$ 才是真正的导数，也就是说：

$$\frac{df(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

在数学上，导数的含义是：经过图像上某一点的切线，这个切线的斜率即为导数值。

关系桥梁推导

微积分基本定理是微积分学中最核心的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。

微积分基本定理的第一部分

定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上的连续函数，定义函数 $F$ 为

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

则 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 即：第一部分定理指明了 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 为 $f(x)$ 的原函数。

详细证明：

1. 定义差商： $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\left({\int }_a^{x+h}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt\right)$$
2. 利用积分的性质： $${\int }_a^{x+h}f(t)dt={\int }_a^{x}f(t)dt+{\int }_x^{x+h}f(t)dt$$ 这里其实也可以直接看作是${\int }_a^{x+h}-{\int }_a^x={\int }_x^{x+h}$ 因此， $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt$$
3. 均值定理： 由于 $f$ 在 $[x,x+h]$ 上连续，根据积分的均值定理，存在 $c\in [x,x+h]$ 使得 ${\int }_x^{x+h}f(t)dt=f(c)\cdot h$ 因此， $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(c)$
4. 取极限： 当 $h\to 0$ 时， $c\to x$ ，因为 $c$ 在 $[x,x+h]$ 内。由于 $f$ 在 $x$ 处连续， ${\lim }_{h\to 0}f(c)=f(x)$ 这段就是说，$h\to 0$ 时，相当于这段积分就在 $x$ 点上，那不就是 $c\to x$ 了吗？ 因此， $F^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$

微积分基本定理的第二部分

定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ），则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

详细证明：

1. 定义辅助函数： 设 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$。根据第一部分，我们知道 $G^{\prime }(x)=f(x)$。

2. 原函数的性质： 由于 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，即 $F^{\prime }(x)=f(x)$，因此 $F(x)$ 和 $G(x)$只相差一个常数 $C$ ：

   $$F(x)=G(x)+C$$

3. 确定常数 $C$： 由于 $G(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0$，我们有

   $$F(a)=G(a)+C=0+C=C$$

   因此，

   $$C=F(a)$$

   所以，

   $$F(x)=G(x)+F(a)$$

4. 计算定积分： 当 $x=b$ 时，

   $$F(b)=G(b)+F(a)$$

   因此，

   $$G(b)=F(b)-F(a)$$

   即

   $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

总结

微积分基本定理的第一部分表明，积分函数的导数就是被积函数。第二部分表明，定积分可以通过原函数的差值来计算。

除上述数学证明外，我们通过直觉也可以猜测到这一点，即导数的定义与微积分是相关联的，积分函数在某一点的变化率即为被积函数（位置函数在某一点的变化率即为该点的速度函数）。