微积分 | Lil b

微分
- 主要研究两个无穷小量的比值
积分
- 主要研究无限多的无穷小量之和

微积分符号定义

符号定义： $d+var$ 表示某个变量的极小的一点变化。

$d$ 和 $∫$ 是可以互相抵消的，因为求导和求积分互为逆运算，这就好比平方和平方根可以抵消一样。

积分符号“$∫$” 和 $Σ$ 有相同的意义。

例如 $\int_{1}^{2} f(x) , dx$，意为 $f(x)$ 与 $dx$ 相乘，这将在坐标系中得到一个极小量（可以看作 $f(x)$ 与 $x$ 轴间的一根细条），将1~~2间无数个极小量求和，即为1~~2下 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积。

与导数的关系

导数定义

对任意函数 $f(x)$ ，它的导数 $f’(x)$ 为 $\displaystyle \frac{df(x)}{dx},=,\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$
更精确的表示为，当 $dx$ 无限逼近 $0$ 时， $f’(x)$ 才是真正的导数，也就是说：
$$
\frac{df(x)}{dx},=,\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
在数学上，导数的含义是：经过图像上某一点的切线，这个切线的斜率即为导数值。

关系桥梁推导

微积分基本定理是微积分学中最核心的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。

微积分基本定理的第一部分

定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，定义函数 $F$ 为
$$
F(x) = \int_a^x f(t) , dt
$$
则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且
$$ F’(x) = f(x) $$
即：第一部分定理指明了 $\int_a^x f(t) , dt$ 为 $f(x)$ 的原函数。

详细证明：

定义差商：
$$
\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) , dt - \int_a^x f(t) , dt \right)
$$
利用积分的性质：
$$
\int_a^{x+h} f(t) , dt = \int_a^x f(t) , dt + \int_x^{x+h} f(t) , dt
$$
这里其实也可以直接看作是$\displaystyle \int_a^{x+h} - \int_a^x = \int_x^{x+h}$
因此，
$$
\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) , dt
$$
均值定理：
由于 $f$ 在 $[x, x+h]$ 上连续，根据积分的均值定理，存在 $c \in [x, x+h]$ 使得
$$\int_x^{x+h} f(t) , dt = f(c) \cdot h$$
因此，
$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c)$$
取极限：
当 $h \to 0$ 时， $c \to x$ ，因为 $c$ 在 $[x, x+h]$ 内。由于 $f$ 在 $x$ 处连续，
$$\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$
这段就是说，$h \to 0$ 时，相当于这段积分就在 $x$ 点上，那不就是 $c \to x$ 了吗？
因此，
$$F’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$$

微积分基本定理的第二部分

定理陈述：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F’(x) = f(x)$ ），则
$$\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a)$$

详细证明：

定义辅助函数：
设 $G(x) = \int_a^x f(t) , dt$。根据第一部分，我们知道 $G’(x) = f(x)$。
原函数的性质：
由于 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，即 $F’(x) = f(x)$，因此 $F(x)$ 和 $G(x)$只相差一个常数 $C$ ：
$$
F(x) = G(x) + C
$$
确定常数 $C$：
由于 $G(a) = \int_a^a f(t) , dt = 0$，我们有
$$
F(a) = G(a) + C = 0 + C = C
$$
因此，
$$
C = F(a)
$$
所以，
$$
F(x) = G(x) + F(a)
$$
计算定积分：
当 $x = b$ 时，
$$
F(b) = G(b) + F(a)
$$
因此，
$$
G(b) = F(b) - F(a)
$$
即
$$
\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
$$

总结

微积分基本定理的第一部分表明，积分函数的导数就是被积函数。第二部分表明，定积分可以通过原函数的差值来计算。

除上述数学证明外，我们通过直觉也可以猜测到这一点，即导数的定义与微积分是相关联的，积分函数在某一点的变化率即为被积函数（位置函数在某一点的变化率即为该点的速度函数）。